тебе надо конвертировать AnsiString в char*. В AnsiString есть для этого специальная функция: c_str()
Делается это вот так:
FILE *file;
file = fopen("file.txt","a");
fprintf (file,"%s\n", Edit1->Text.c_str());
здесь file - указатель на файл, открытый для записи в конец ("а" = append = дописать)
Edit1 - идентификатор поля ввода, а Text - его содержимое типа AnsiString, которое с помощью c_str() конвертируется в char*